Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

Schritt 1

Da $4 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4 π$ aus dem Integral.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Berechne $x$ bei $\frac{π}{3}$ und $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Schritt 6.1.2

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $π$ und $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

Schritt 6.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

Schritt 6.3.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Schritt 6.3.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 6.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Schritt 6.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Schritt 6.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

Schritt 6.3.6

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 6.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 6.3.7.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

Schritt 6.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.9

Multipliziere $4 π \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 6.3.9.1

Kombiniere $\frac{2 π}{3}$ und $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.9.3

Kombiniere $\frac{8 π}{3}$ und $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.9.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.9.5

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.9.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.9.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Schritt 6.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Dezimalform:

$4.55335269 \dots$