Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ und $\sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.2

Kombinieren.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.4

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 4.4.4.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.5

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{3}$ an.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.6

Kombinieren.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 9} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.12

Um $\frac{π^{2}}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.13

Um $- \frac{π^{2}}{18}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $72$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.4.14.1

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{8}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.14.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.14.3

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{18}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{18 \cdot 4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.14.4

Mutltipliziere $18$ mit $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.16

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + \frac{72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.18

Um $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{36}{36}$

Schritt 4.4.19

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $72$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.4.19.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{2 \cdot 36}$

Schritt 4.4.19.2

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Schritt 4.4.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Schritt 4.4.21

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Schritt 4.4.22

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Schritt 4.4.23

Subtrahiere $4 π^{2}$ von $π^{2} \cdot 9$ .

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Schritt 4.4.23.1

Stelle $π^{2}$ und $9$ um.

$\frac{9 \cdot π^{2} - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Schritt 4.4.23.2

Subtrahiere $4 π^{2}$ von $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{5 \cdot π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Dezimalform:

$0.81936379 \dots$