Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Schritt 5.1.2

Berechne $- \cos (x)$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Schritt 5.2.2

Addiere $- \cos (π)$ und $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $\cos (π)$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Schritt 5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Schritt 5.3.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 5.3.4

Um $\frac{π^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 5.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 5.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 5.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 5.3.7

Subtrahiere $π^{2}$ von $π^{2} \cdot 4$ .

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Schritt 5.3.7.1

Stelle $π^{2}$ und $4$ um.

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 5.3.7.2

Subtrahiere $π^{2}$ von $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Dezimalform:

$2.70110165 \dots$