Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) - \sin (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = - π$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Schritt 3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \sin (x) d x$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{3}$ und $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Schritt 8.2

Berechne $- \cos (x)$ bei $\frac{π}{6}$ und $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 9.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 10.4

Addiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 10.5

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Schritt 10.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.6.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 10.6.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 10.6.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Schritt 10.7

Addiere $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.8

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 10.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.8.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.9

Um $\frac{\sqrt{3}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Schritt 10.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Schritt 10.12

Stelle die Faktoren von $\sqrt{3} \cdot 2$ um.

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 10.13

Addiere $\sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Dezimalform:

$1.29903810 \dots$