Analysis Beispiele

$\int x^{\frac{1}{3}} {(28 - x)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 28 - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 28 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $28 - x$ .

$\frac{d}{d x} [28 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $28 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [28] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [28] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int - {(- u_{1} + 28)}^{\frac{1}{3}} {u_{1}}^{2} d u_{1}$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int {(- u_{1} + 28)}^{\frac{1}{3}} {u_{1}}^{2} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = - u_{1} + 28$ . Dann ist $d u_{2} = - d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = - u_{1} + 28$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- u_{1} + 28$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 28]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- u_{1} + 28$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [28]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $28$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $28$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$- 1 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \int - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- - \int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe ${(- u_{2} + 28)}^{2}$ als $(- u_{2} + 28) (- u_{2} + 28)$ um.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} ((- u_{2} + 28) (- u_{2} + 28)) d u_{2}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2} + 28) + 28 (- u_{2} + 28)) d u_{2}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 28 + 28 (- u_{2} + 28)) d u_{2}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 28 + 28 (- u_{2}) + 28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2}) + 28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2}) + 28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.8

Bewege $u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2}) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.9

Versetze die Klammern.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot - 1 u_{2}) u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.10

Versetze die Klammern.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot - 1) u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.11

Bewege ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.12

Bewege $u_{2}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 28 u_{2}) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.13

Versetze die Klammern.

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 28) u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.14

Bewege ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.15

Versetze die Klammern.

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot - 1) u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.16

Bewege ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Schritt 6.17

Bewege ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.19

Mutltipliziere ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.20

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{1} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3} + 1} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.22

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{1 + 3}{3}} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.24

Addiere $1$ und $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3}} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.25

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3}} {u_{2}}^{1} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3} + 1} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.27

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{4 + 3}{3}} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.29

Addiere $4$ und $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.30

Mutltipliziere $- 1$ mit $28$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.31

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{1}) + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + 1} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.33

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1 + 3}{3}} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.35

Addiere $1$ und $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.36

Mutltipliziere $28$ mit $- 1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.37

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{1}) + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.38

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + 1} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.39

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.40

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1 + 3}{3}} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.41

Addiere $1$ und $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.42

Mutltipliziere $28$ mit $28$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.43

Subtrahiere $28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ von $- 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.44

Stelle $- 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ und $784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ um.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} + 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 6.45

Stelle ${u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ und $784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ um.

$\int 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} d u_{2} + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 8

Da $784$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $784$ aus dem Integral.

$784 \int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} d u_{2} + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$784 (\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} d u_{2} + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}}$ .

$784 (\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und ${u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 12

Da $- 56$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 56$ aus dem Integral.

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C - 56 \int {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{3}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ .

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C - 56 (\frac{3}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{3}} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und ${u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ .

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C - 56 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7} + C)$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} - 56 \frac{3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Kombiniere $- 56$ und $\frac{3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7}$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{- 56 (3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7} + C$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 56$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{- 168 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $7$ aus $- 168 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ heraus.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7 (- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7} + C$

Schritt 14.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.4.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7 (- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7 (1)} + C$

Schritt 14.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7 (- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7 \cdot 1} + C$

Schritt 14.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{1} + C$

Schritt 14.3.4.4

Dividiere $- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ durch $1$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} - 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- u_{1} + 28$ .

$588 {(- u_{1} + 28)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {(- u_{1} + 28)}^{\frac{10}{3}}}{10} - 24 {(- u_{1} + 28)}^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $28 - x$ .

$588 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{10}{3}}}{10} - 24 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$588 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{10}{3}} - 24 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{7}{3}} + C$