Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sqrt[4]{4 x - 3} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sqrt[4]{4 x - 3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x^{2} \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{1}{5} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} (x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 4 x - 3$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int u^{\frac{5}{4}} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) \frac{1}{4} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} (\frac{u}{4} + \frac{3}{4}) d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ mit $\frac{u}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4}} u^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5}{4} + \frac{4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{5 + 4}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.7

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}}}{4} \cdot \frac{3}{4} d u$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{4}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4} d u$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{u^{\frac{5}{4}} \cdot 3}{16} d u$

Schritt 8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} \int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} + \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{16} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{16}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} \int u^{\frac{9}{4}} d u + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{9}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{4}{13}$ und $u^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \int \frac{3 u^{\frac{5}{4}}}{16} d u)$

Schritt 13

Da $\frac{3}{16}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{16}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{5}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{4}{9}$ und $u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{16} (\frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13} + C) + \frac{3}{16} (\frac{4 u^{\frac{9}{4}}}{9} + C))$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) + C$

Schritt 15.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.1

Um $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Schritt 15.3.2

Kombiniere $- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Schritt 15.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - \frac{2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12}) \cdot 5}{5} + C$

Schritt 15.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 15.3.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 15.3.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 10}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 15.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $5$ .

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Schritt 15.3.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 15.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.3.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 15.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 15.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 2}{1} (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 15.3.7.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{u^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{u^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 3$ .

$\frac{x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}}}{52} + \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}}}{12})}{5} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} (x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}} - 2 (\frac{1}{52} {(4 x - 3)}^{\frac{13}{4}} + \frac{1}{12} {(4 x - 3)}^{\frac{9}{4}})) + C$