Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{{(1 - x)}^{10}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- (- u + 1)}{u^{10}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{10}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int (- u + 1) {(u^{10})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{10})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 1) u^{10 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- \int (- u + 1) u^{- 10} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(- u + 1) u^{- 10}$ .

$- \int - u \cdot u^{- 10} + 1 u^{- 10} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere $u$ mit $u^{- 10}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Bewege $u^{- 10}$ .

$- \int - (u^{- 10} u) + 1 u^{- 10} d u$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $u^{- 10}$ mit $u$ .

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Schritt 6.1.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \int - (u^{- 10} u^{1}) + 1 u^{- 10} d u$

Schritt 6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int - u^{- 10 + 1} + 1 u^{- 10} d u$

Schritt 6.1.3

Addiere $- 10$ und $1$ .

$- \int - u^{- 9} + 1 u^{- 10} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $u^{- 10}$ mit $1$ .

$- \int - u^{- 9} + u^{- 10} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int - u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (- \int u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 9}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{8} u^{- 8}$ .

$- (- (- \frac{1}{8} u^{- 8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $u^{- 8}$ und $\frac{1}{8}$ .

$- (- (- \frac{u^{- 8}}{8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Schritt 10.2

Bringe $u^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 10}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{9} u^{- 9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9} u^{- 9} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $u^{- 9}$ und $\frac{1}{9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{u^{- 9}}{9} + C)$

Schritt 12.1.2

Bringe $u^{- 9}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9 u^{9}} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$- (\frac{1}{8 u^{8}} - \frac{1}{9 u^{9}}) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$- (\frac{1}{8 {(1 - x)}^{8}} - \frac{1}{9 {(1 - x)}^{9}}) + C$