Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{3}{2} y - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{3}{2} y - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{3}{2} y - x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{2} y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $\frac{3}{2} y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2} y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

Schritt 2.3

Kombinieren.

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

Schritt 6

Multipliziere $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Schritt 6.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Schritt 6.4

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

Schritt 6.5

Stelle $- 2 u^{- 1}$ und $3 y u^{- 2}$ um.

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Schritt 8

Da $3 y$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3 y$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

Schritt 11

Das Integral von $u^{- 1}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

Schritt 12

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3}{2} y - x$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$