Analysis Beispiele

$\int \sqrt{\cos (6 x)} \sin (6 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (6 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 6 \sin (6 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{6} d u_{2} = \sin (6 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (6 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x$ .

$- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 \sin (6 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{- 6} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \sqrt{u_{2}} (- \frac{1}{6}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\sqrt{u_{2}}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{6} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$- \frac{2}{18} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $18$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{18} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (6 x)$ .

$- \frac{1}{9} {\cos (6 x)}^{\frac{3}{2}} + C$