Analysis Beispiele

$\int \sqrt{t} (t^{6} + t - 4) d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t^{6} + t - 4$ und $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{6} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5} + 1) d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Schritt 3.2

Stelle $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $6$ um.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Schritt 3.3

Stelle $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $1$ um.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.4

Kombiniere $6$ und $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $t^{5}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}} t^{5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.8

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.9

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 10}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.11.2

Addiere $3$ und $10$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ mit $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $12 t^{\frac{13}{2}}$ heraus.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 (1)} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 \cdot 1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{13}{2}}}{1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 4.2.4

Dividiere $4 t^{\frac{13}{2}}$ durch $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 t^{\frac{13}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int 4 t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \int t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{13}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{2}{15}$ und $t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Schritt 9

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{t^{\frac{15}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{15}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{15}{2}})}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3.8

Um $- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 11.3.9

Kombiniere $- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 11.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 11.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8}{15} t^{\frac{15}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$