Analysis Beispiele

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 1

Zerlege den Bruch $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ in zwei Brüche.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 3

Sei $u = - 1 - v^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 v d v$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 1 - v^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 1 - v^{2}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Schritt 3.1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- v^{2}$ nach $v$ gleich $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 v$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $2 v$ von $0$ .

$- 2 v$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - v^{2}$ heraus.

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Schritt 8.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 1$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- v^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Schritt 8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (v^{2})$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- 1 (1 + v^{2})$ als $- (1 + v^{2})$ um.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Schritt 11

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ nach $v$ ist $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$