Analysis Beispiele

$\int \sqrt{3 - 3 y^{2}} d y$

Schritt 1

Sei $y = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d y = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{3 \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.6

Stelle $3$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \cos (t) \sqrt{3} \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{3} d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{3} d t$

Schritt 2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{3} d t$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{3} d t$

Schritt 3

Da $\sqrt{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\sqrt{3}$ aus dem Integral.

$\sqrt{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\sqrt{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (y))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (y))$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin (y) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2} + C$

Schritt 15.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}$ .

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (2 \arcsin (y))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (2 \arcsin (y))}{4} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin (y) + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin (2 \arcsin (y)) + C$