Analysis Beispiele

$\int \sqrt{4 - 5 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ positiv ist.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ und $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5})}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5}$ an.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5} \sin (t))}^{2}}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.4.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5} \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.4.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.1.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{1} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.2.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.1.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\int \sqrt{4 + 5 (- 1) \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.7.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 2.1.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $20 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 (1)}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{4 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.8.2.4

Dividiere $4 \sin^{2} (t)$ durch $1$ .

$\int \sqrt{4 - 1 (4 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 2 \cos (t) \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ und $2$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \cos (t) \cdot 2}{5} \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5} \cos (t) d t$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ und $\cos (t)$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t) \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{5} d t$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{5} d t$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{4 \sqrt{5} {\cos (t)}^{1 + 1}}{5} d t$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos^{2} (t)}{5} d t$

Schritt 3

Da $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 (5)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ und $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 (\sqrt{5})}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Schritt 15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Schritt 15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})) + C$

Schritt 15.5

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{5} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x) + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x)) + C$