Analysis Beispiele

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 25} d x$

Schritt 1

Sei $x = 5 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \sec (t)$ an.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ heraus.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $25 \tan^{2} (t)$ als ${(5 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec (t)$ heraus.

$\int {(5 (\sec (t)))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $5 (\sec (t))$ an.

$\int 5^{3} \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\int 125 \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $125$ .

$\int 625 \sec^{3} (t) \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $625$ .

$\int 3125 \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.6

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int 3125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3125 {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 2.2.8

Addiere $1$ und $3$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.10

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3125 \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 3

Da $3125$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3125$ aus dem Integral.

$3125 \int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$3125 \int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sec (t)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ um.

$3125 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 5

Schreibe $\sec^{2} (t)$ in $1 + \tan^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$3125 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 6

Sei $u = \tan (t)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \tan (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\tan (t)$ nach $t$ ist $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3125 \int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 7

Multipliziere $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$3125 \int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$3125 \int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 8.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3125 \int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 8.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$3125 \int u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3125 (\int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u$ durch $\tan (t)$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t)) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{1}{5} x))) + C$