Analysis Beispiele

$\int x^{3} + \sin (22 x) + \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} d x + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 22 x$ . Dann ist $d u_{1} = 22 d x$ , folglich $\frac{1}{22} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 22 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $22 x$ .

$\frac{d}{d x} [22 x]$

Schritt 3.1.2

Da $22$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $22 x$ nach $x$ gleich $22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$22 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$22 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $22$ mit $1$ .

$22$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (u_{1}) \frac{1}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{22}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{\sin (u_{1})}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{22}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{22}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {(x + 1)}^{3} d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{3}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{{u_{2}}^{4}}{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{4 \cdot 4} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $22 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{(x + 1)}^{4}}{16} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{22} \cos (22 x) + \frac{1}{16} {(x + 1)}^{4} + C$