Analysis Beispiele

$\int x^{3} \cos (x^{4} + 6) \sqrt{\sin (x^{4} + 6)} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{4} + 6$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{4} + 6$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{4} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 x^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{4} \sqrt{\sin (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ und $\sqrt{\sin (u_{1})}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})}}{4} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{12} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{12} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\sin (u_{1})}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{4} + 6$ .

$\frac{1}{6} {\sin (x^{4} + 6)}^{\frac{3}{2}} + C$