Analysis Beispiele

$\int x^{4} (x^{3} + 8 x^{2} + 7) d x$

Schritt 1

Multipliziere $x^{4} (x^{3} + 8 x^{2} + 7)$ aus.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{4} (x^{3} + 8 x^{2}) + x^{4} \cdot 7 d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{4} x^{3} + x^{4} (8 x^{2}) + x^{4} \cdot 7 d x$

Schritt 1.3

Stelle $x^{4}$ und $8$ um.

$\int x^{4} x^{3} + 8 \cdot x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot 7 d x$

Schritt 1.4

Stelle $x^{4}$ und $7$ um.

$\int x^{4} x^{3} + 8 \cdot x^{4} x^{2} + 7 \cdot x^{4} d x$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4 + 3} + 8 x^{4} x^{2} + 7 x^{4} d x$

Schritt 1.6

Addiere $4$ und $3$ .

$\int x^{7} + 8 x^{4} x^{2} + 7 x^{4} d x$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{7} + 8 x^{4 + 2} + 7 x^{4} d x$

Schritt 1.8

Addiere $4$ und $2$ .

$\int x^{7} + 8 x^{6} + 7 x^{4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{7} d x + \int 8 x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{7}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$\frac{1}{8} x^{8} + C + \int 8 x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

Schritt 4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 \int x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 7 x^{4} d x$

Schritt 6

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 \int x^{4} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + 7 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + 7 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + \frac{7 x^{5}}{5} + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{8}{7} x^{7} + \frac{7}{5} x^{5} + C$