Analysis Beispiele

$\int x^{3} \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{3} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2} \cdot 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2} \cdot 3$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 3 \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- 3 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (2 x) d x)$

Schritt 6.4

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x)}{2} x d x)$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{2 \sin (2 x)}{2}$ und $x$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Schritt 6.6.2

Dividiere $\sin (2 x) x$ durch $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) x d x)$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Schritt 8.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Schritt 8.3

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Schritt 10

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x))$

Schritt 12

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u))$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u))$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Schreibe $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$ als $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$ um.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Schritt 17.2

Vereinfache.

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Schritt 17.2.1

Um $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 17.2.2

Kombiniere $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 17.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 17.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Schritt 17.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{6}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Schritt 17.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 17.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Schritt 17.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Schritt 17.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Schritt 17.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Schritt 17.2.6.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Schritt 18

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 \frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 19.1.2

Vereinfache.

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Schritt 19.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 19.1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 19.1.2.3

Multipliziere $3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})$ .

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Schritt 19.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.1.2.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.1.3

Vereinfache jeden Term.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\frac{3 x \cos (2 x)}{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{3 \sin (2 x)}{4}$ heraus.

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 19.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})$ heraus.

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 19.9

Schreibe $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ als $- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ um.

$\frac{- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 19.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} - \frac{3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 19.13

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} (x^{3} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x^{2} \sin (2 x) - \frac{3}{2} x \cos (2 x) + \frac{3}{4} \sin (2 x)) + C$