Analysis Beispiele

$\int x^{- 6} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 6}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{5 x^{5}}) - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{x (5 x^{5})} d x$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 (x^{1} x^{5})} d x$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{1 + 5}} d x$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $5$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - - \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + 1 \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{5 x^{6}} d x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{- 6} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$ als $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$ um.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{5}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{x^{5} \cdot 5}) + C$

Schritt 8.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5 \cdot x^{5}}) + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{5 (5 x^{5})} + C$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{25 x^{5}} + C$