Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- \cos (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $0$ und $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Schritt 7.3.4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Schritt 8.4

Addiere $0$ und $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Schritt 8.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 1}{2}$

Schritt 8.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{2}$