Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 5 {\sin (x)}^{\frac{3}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{\frac{3}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$5 \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{1})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ bei $1$ und $0$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (\frac{2 \cdot 1}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 5.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 5.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Schritt 5.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{0}{5})$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Schritt 5.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 5.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 5.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 (\frac{2}{5} - 0)$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 (\frac{2}{5} + 0)$

Schritt 5.2.10

Addiere $\frac{2}{5}$ und $0$ .

$5 (\frac{2}{5})$

Schritt 5.2.11

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{5}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

Schritt 5.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.13.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Schritt 5.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Schritt 5.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1}$

Schritt 5.2.13.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$