Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - \cos (2 t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Schritt 2.1.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (2 t)$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 2 t$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Schritt 2.1.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Schritt 2.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Schritt 2.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Schritt 2.1.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ ein.

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Schritt 2.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$u_{lower} = 5$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ ein.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Schritt 2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Schritt 2.5.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Schritt 2.5.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.1.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Schritt 2.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$u_{upper} = 7$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Schritt 7

Berechne $\ln (| u_{2} |)$ bei $7$ und $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Schritt 8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $7$ ist $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Schritt 9.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{7}{5})$

Dezimalform:

$0.33647223 \dots$