Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

Schritt 1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\tan (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $3$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 7

Berechne $\ln (| \sec (u) |)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 8.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

Schritt 9.1.4

$\sqrt{2}$ ist ungefähr $1.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

Schritt 9.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

Schritt 9.3

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$6 \ln (\sqrt{2})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 \ln (\sqrt{2})$

Dezimalform:

$2.07944154 \dots$