Analysis Beispiele

$\int \frac{y}{\sqrt{5 - y}} d y$

Schritt 1

Sei $u = 5 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 - y$ .

$\frac{d}{d y} [5 - y]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- (- u + 5)}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int \frac{- u + 5}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int (- u + 5) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int (- u + 5) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(- u + 5) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.7

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \int - u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.8

Stelle $- u^{\frac{1}{2}}$ und $5 u^{- \frac{1}{2}}$ um.

$- \int 5 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int 5 u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$- (5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$- (10 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $5 - y$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Um $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 13.2

Kombiniere $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$- \frac{30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} (30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}) + C$