Analysis Beispiele

$\int \frac{- x y}{a^{2} - x^{2}} d x$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{x y}{a^{2} - x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{x y}{a^{2} - x^{2}} d x$

Schritt 3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$- (y \int \frac{x}{a^{2} - x^{2}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = a^{2} - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = a^{2} - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $a^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- y \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- y \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- y \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- y \int - \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y (- \int \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{y}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Schreibe $\frac{y}{2} (\ln (| u |) + C)$ als $\frac{1}{2} y \ln (| u |) + C$ um.

$\frac{1}{2} y \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y \ln (| a^{2} - x^{2} |) + C$