Analysis Beispiele

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x) + 3 x^{2} + \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.1.2

Dividiere $\sec (x) \tan (x)$ durch $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x}{1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.2.5

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\sec (x) + C + 3 \int x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 7.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 7.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.3.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 7.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\sec (x) + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$\sec (x) + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$