Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

Schritt 3

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (t)$ als $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 8.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Schritt 11

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 12.2

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Schritt 12.3

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Schritt 13.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

Schritt 13.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 14.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 14.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.14269908 \dots$

Schritt 16