Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \tan (t)}{2}$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \tan (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 \tan^{2} (t) + 9$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $9 \sec^{2} (t)$ als ${(3 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \tan (t)}{2}$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \tan (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.3

Schreibe $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ als ein Produkt um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ mit $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $24$ .

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Schritt 2.2.2.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $27 \tan^{3} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $24 \sec (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ mit $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.2.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec^{2} (t)$ und $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.2.3.10.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.10.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $16 \sec (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Schritt 2.2.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Schritt 2.2.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Schritt 3

Da $\frac{27}{16}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{27}{16}$ aus dem Integral.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 4

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 5

Faktorisiere $\tan^{2} (t)$ aus.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 6

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 8

Sei $u = \sec (t)$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \sec (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \sec (t)$ ein.

$u_{lower} = \sec (0)$

Schritt 8.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \sec (t)$ ein.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Schritt 8.5

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Schritt 12

Kombiniere $- u]_{1}^{2}$ und $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.4

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.7.2

Addiere $- 6$ und $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Schritt 13.2.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Schritt 13.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Schritt 13.2.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 13.2.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 13.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Schritt 13.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Schritt 13.2.14.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Schritt 13.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Schritt 13.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Schritt 13.2.17

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 13.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Schritt 13.2.19

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 13.2.20

Mutltipliziere $\frac{27}{16}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Schritt 13.2.21

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Schritt 13.2.22

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{108}{48}$

Schritt 13.2.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $108$ und $48$ .

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Schritt 13.2.23.1

Faktorisiere $12$ aus $108$ heraus.

$\frac{12 (9)}{48}$

Schritt 13.2.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.23.2.1

Faktorisiere $12$ aus $48$ heraus.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Schritt 13.2.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Schritt 13.2.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{4}$

Dezimalform:

$2.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{4}$

Schritt 15