Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

Schritt 4

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 4.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{lower} = π \cdot 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Schritt 4.5

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 7.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 7.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x \sin (π x)}{π}$ bei $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 9.2

Berechne $- \cos (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3

Schreibe $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ mit $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 9.3.7

Um $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.8

Kombiniere $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ und $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.12

Kombiniere $π$ und $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.13

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $π$ und $π^{2}$ .

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Schritt 9.3.14.1

Faktorisiere $π$ aus $- 2 π$ heraus.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.14.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 9.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 10.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 10.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

Schritt 10.7

Um $- \frac{0}{π}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 π$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.8.1

Mutltipliziere $\frac{0}{π}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

Schritt 10.8.2

Stelle die Faktoren von $π \cdot 2$ um.

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

Schritt 10.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

Schritt 10.10

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

Schritt 10.11

Addiere $1 - \frac{2}{π}$ und $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

Schritt 11.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

Schritt 11.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

Schritt 11.3

Multipliziere $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $\frac{π - 2}{π}$ mit $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

Schritt 11.3.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

Schritt 11.3.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

Schritt 11.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

Schritt 11.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Dezimalform:

$0.05783375 \dots$