Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) + 4 \cos (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Schritt 2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Schritt 3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \cos (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Berechne $- \cos (x)$ bei $\frac{13 π}{6}$ und $0$ .

$8 ((- \cos (\frac{13 π}{6})) + \cos (0)) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

Schritt 6.1.2

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{13 π}{6}$ und $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + \cos (0)) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

Schritt 6.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - 0)$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) + 0)$

Schritt 6.2.4

Addiere $\sin (\frac{13 π}{6})$ und $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$8 (- \cos (\frac{π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$8 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$4 (- \sqrt{3}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Schritt 6.3.7

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 6.3.8

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2$

Schritt 6.3.10

Addiere $8$ und $2$ .

$- 4 \sqrt{3} + 10$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 4 \sqrt{3} + 10$

Dezimalform:

$3.07179676 \dots$