Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 4 x$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 4 x$ ein.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\cos (u_{1})$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

Schritt 9

Sei $u_{2} = 4 x$ . Dann ist $d u_{2} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 9.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 9.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = 4 x$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 9.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = 4 x$ ein.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 10

Kombiniere $\sin (u_{2})$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 11

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 13

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $\sin (u_{1})$ bei $\frac{3 π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Schritt 14.2

Berechne $- \cos (u_{2})$ bei $\frac{3 π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

Schritt 14.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Schritt 15.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Schritt 15.4

Addiere $\sin (\frac{3 π}{4})$ und $0$ .

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Schritt 15.5

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $\sin (\frac{3 π}{4})$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Schritt 15.6

Um $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 15.7

Kombiniere $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ und $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Schritt 15.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Schritt 15.9

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Schritt 15.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 15.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Schritt 15.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Schritt 15.11

Mutltipliziere $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

Schritt 16.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.4.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.4.4

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Schritt 16.4.5.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Dezimalform:

$0.15088834 \dots$