Analysis Beispiele

$\int_{3}^{5} \frac{1}{1 + t} d t d t$

Schritt 1

Sei $u = 1 + t$ . Dann ist $d u = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 1 + t$ ein.

$u_{lower} = 1 + 3$

Schritt 1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 1 + t$ ein.

$u_{upper} = 1 + 5$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $5$ .

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{6} \frac{1}{u} d u d t$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{4}^{6} d t$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $6$ und $4$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |)) d t$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |}) d t$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $6$ ist $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 4 |}) d t$

Schritt 5.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\ln (\frac{6}{4}) d t$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\ln (\frac{2 (3)}{4}) d t$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}) d t$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}) d t$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{3}{2}) d t$

Schritt 6