Analysis Beispiele

$\int 3 \sqrt{\tan^{2} (4 x) + 1} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int 3 \sqrt{\sec^{2} (4 x)} d x$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 3 \sec (4 x) d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sec (4 x) d x$

Schritt 3

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \sec (u) \frac{1}{4} d u$

Schritt 4

Kombiniere $\sec (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec (u)}{4} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec (u) d u)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) + \tan (u) |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (4 x) + \tan (4 x) |) + C$