Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{8} (3 \sin (2 x)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 3}^{8} 3 \sin (2 x) d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{- 3}^{8} \sin (2 x) d x$

Schritt 3

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot - 3$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$u_{lower} = - 6$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 8$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$u_{upper} = 16$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 16$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{- 6}^{16} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{- 6}^{16} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{- 6}^{16} \sin (u) d u)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{- 6}^{16} \sin (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{3}{2} - \cos (u)]_{- 6}^{16}$

Schritt 8

Berechne $- \cos (u)$ bei $16$ und $- 6$ .

$\frac{3}{2} (- \cos (16) + \cos (- 6))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Berechne $\cos (16)$ .

$\frac{3}{2} (- - 0.95765948 + \cos (- 6))$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.95765948$ .

$\frac{3}{2} (0.95765948 + \cos (- 6))$

Schritt 9.1.3

Berechne $\cos (- 6)$ .

$\frac{3}{2} (0.95765948 + 0.96017028)$

Schritt 9.2

Addiere $0.95765948$ und $0.96017028$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1.91782976$

Schritt 9.3

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot 1.91782976$ .

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $1.91782976$ .

$\frac{3 \cdot 1.91782976}{2}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1.91782976$ .

$\frac{5.7534893}{2}$

Schritt 9.4

Dividiere $5.7534893$ durch $2$ .

$2.87674465$