Analysis Beispiele

$\int_{- 32}^{32} \sqrt[5]{x^{4}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{4}}$ als $x^{\frac{4}{5}}$ neu zu schreiben.

$\int_{- 32}^{32} x^{\frac{4}{5}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{4}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}]_{- 32}^{32}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ bei $32$ und $- 32$ .

$(\frac{5}{9} \cdot 32^{\frac{9}{5}}) - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\frac{5}{9} \cdot {(2^{5})}^{\frac{9}{5}} - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{9} \cdot 2^{5 (\frac{9}{5})} - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{9} \cdot 2^{5 (\frac{9}{5})} - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{9} \cdot 2^{9} - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $2$ mit $9$ .

$\frac{5}{9} \cdot 512 - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{5}{9}$ und $512$ .

$\frac{5 \cdot 512}{9} - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $512$ .

$\frac{2560}{9} - \frac{5}{9} {(- 32)}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.7

Schreibe $- 32$ als ${(- 2)}^{5}$ um.

$\frac{2560}{9} - \frac{5}{9} {({(- 2)}^{5})}^{\frac{9}{5}}$

Schritt 3.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2560}{9} - \frac{5}{9} {(- 2)}^{5 (\frac{9}{5})}$

Schritt 3.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2560}{9} - \frac{5}{9} {(- 2)}^{5 (\frac{9}{5})}$

Schritt 3.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2560}{9} - \frac{5}{9} {(- 2)}^{9}$

Schritt 3.2.10

Potenziere $- 2$ mit $9$ .

$\frac{2560}{9} - \frac{5}{9} \cdot - 512$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $- 512$ mit $- 1$ .

$\frac{2560}{9} + 512 (\frac{5}{9})$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $512$ und $\frac{5}{9}$ .

$\frac{2560}{9} + \frac{512 \cdot 5}{9}$

Schritt 3.2.13

Mutltipliziere $512$ mit $5$ .

$\frac{2560}{9} + \frac{2560}{9}$

Schritt 3.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2560 + 2560}{9}$

Schritt 3.2.15

Addiere $2560$ und $2560$ .

$\frac{5120}{9}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5120}{9}$

Dezimalform:

$568.\overline{8}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$568 \frac{8}{9}$

Schritt 5