Analysis Beispiele

$\int_{2}^{e + 1} \frac{4}{x - 1} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{lower} = 2 - 1$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{upper} = e + 1 - 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = e + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $e$ und $0$ .

$u_{upper} = e$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| u |)]_{1}^{e})$

Schritt 4

Berechne $\ln (| u |)$ bei $e$ und $1$ .

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Schritt 6.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$4 \ln (\frac{e}{1})$

Schritt 6.3

Dividiere $e$ durch $1$ .

$4 \ln (e)$

Schritt 6.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 7