Analysis Beispiele

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x + 1$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $6$ und $1$ .

$u_{lower} = 7$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $15$ und $1$ .

$u_{upper} = 16$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

Schritt 7.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- \frac{1}{2 u^{2}}$ bei $16$ und $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

Schritt 8.2.5

Um $- \frac{1}{512}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

Schritt 8.2.6

Um $\frac{1}{98}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Schritt 8.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25088$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{512}$ mit $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Schritt 8.2.7.2

Mutltipliziere $512$ mit $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Schritt 8.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{98}$ mit $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

Schritt 8.2.7.4

Mutltipliziere $98$ mit $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

Schritt 8.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

Schritt 8.2.9

Addiere $- 49$ und $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

Schritt 8.2.10

Kombiniere $2$ und $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

Schritt 8.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $207$ .

$\frac{414}{25088}$

Schritt 8.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $414$ und $25088$ .

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Schritt 8.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $414$ heraus.

$\frac{2 (207)}{25088}$

Schritt 8.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $25088$ heraus.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Schritt 8.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Schritt 8.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{207}{12544}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{207}{12544}$

Dezimalform:

$0.01650191 \dots$

Schritt 10