Analysis Beispiele

$\int 2 \sin (x) \sqrt[3]{1 + \cos (x)} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sin (x) \sqrt[3]{1 + \cos (x)} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 + \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$- \sin (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int - 1 \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \sqrt[3]{u} d u)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- 2 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- 2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $- 2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $- 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$- 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + \cos (x)$ .

$- \frac{3}{2} {(1 + \cos (x))}^{\frac{4}{3}} + C$