Analysis Beispiele

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} - 3 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{27}^{64} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + - 3 x]_{27}^{64}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64}$ und $- 3 x]_{27}^{64}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x]_{27}^{64}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x$ bei $64$ und $27$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 64^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64) - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$\frac{3}{4} \cdot {(4^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot 4^{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 256 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $256$ .

$\frac{3 \cdot 256}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$\frac{768}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $768$ und $4$ .

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Schritt 5.2.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $768$ heraus.

$\frac{4 \cdot 192}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 192}{4 (1)} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 192}{4 \cdot 1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{192}{1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.7.2.4

Dividiere $192$ durch $1$ .

$192 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$192 - 192 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.9

Subtrahiere $192$ von $192$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.10

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$0 - (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.11

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.13

Potenziere $3$ mit $4$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 81 - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.14

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $81$ .

$0 - (\frac{3 \cdot 81}{4} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 3 \cdot 27)$

Schritt 5.2.2.16

Mutltipliziere $- 3$ mit $27$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 81)$

Schritt 5.2.2.17

Um $- 81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 5.2.2.18

Kombiniere $- 81$ und $\frac{4}{4}$ .

$0 - (\frac{243}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

Schritt 5.2.2.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - \frac{243 - 81 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.2.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.20.1

Mutltipliziere $- 81$ mit $4$ .

$0 - \frac{243 - 324}{4}$

Schritt 5.2.2.20.2

Subtrahiere $324$ von $243$ .

$0 - \frac{- 81}{4}$

Schritt 5.2.2.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - - \frac{81}{4}$

Schritt 5.2.2.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{81}{4})$

Schritt 5.2.2.23

Mutltipliziere $\frac{81}{4}$ mit $1$ .

$0 + \frac{81}{4}$

Schritt 5.2.2.24

Addiere $0$ und $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{81}{4}$

Dezimalform:

$20.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$20 \frac{1}{4}$

Schritt 7