Analysis Beispiele

$\int 2 p y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y$

Schritt 1

Da $2 p$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 p$ aus dem Integral.

$2 p \int y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 p \int y \cdot 8 + y (- y^{\frac{3}{2}}) d y$

Schritt 2.2

Stelle $y$ und $8$ um.

$2 p \int 8 \cdot y + y (- y^{\frac{3}{2}}) d y$

Schritt 2.3

Stelle $y$ und $- 1$ um.

$2 p \int 8 \cdot y - 1 \cdot y \cdot y^{\frac{3}{2}} d y$

Schritt 2.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$2 p \int 8 y - (y \cdot y^{\frac{3}{2}}) d y$

Schritt 2.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 p \int 8 y - (y^{1} y^{\frac{3}{2}}) d y$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 p \int 8 y - y^{1 + \frac{3}{2}} d y$

Schritt 2.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 p \int 8 y - y^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d y$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 p \int 8 y - y^{\frac{2 + 3}{2}} d y$

Schritt 2.9

Addiere $2$ und $3$ .

$2 p \int 8 y - y^{\frac{5}{2}} d y$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 p (\int 8 y d y + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Schritt 4

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$2 p (8 \int y d y + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - \int y^{\frac{5}{2}} d y)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{5}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

$2 p (4 y^{2} - \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}) + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$2 p (4 y^{2} - \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}) + C$