Analysis Beispiele

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Schritt 1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.4.6.5

Vereinfache.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ an.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.5.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{x}$ an.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.6.2.5

Vereinfache.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x$ aus $25 x$ heraus.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

Schritt 1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Schritt 1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Schritt 1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

Schritt 1.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

Schritt 1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

Schritt 1.10

Kombiniere $\frac{x + 25}{x}$ und $x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Schritt 1.11.2

Dividiere $x + 25$ durch $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

Schritt 2

Da $20 p$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20 p$ aus dem Integral.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

Schritt 3

Sei $u = x + 25$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x + 25$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.1.4

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 25$ ein.

$u_{lower} = 24 + 25$

Schritt 3.3

Addiere $24$ und $25$ .

$u_{lower} = 49$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 25$ ein.

$u_{upper} = 39 + 25$

Schritt 3.5

Addiere $39$ und $25$ .

$u_{upper} = 64$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $64$ und $49$ .

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $8$ mit $3$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.6

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 7.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 7.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

Schritt 7.2.9

Potenziere $7$ mit $3$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

Schritt 7.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $343$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

Schritt 7.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

Schritt 7.2.12

Subtrahiere $686$ von $1024$ .

$20 p \frac{338}{3}$

Schritt 7.2.13

Kombiniere $20$ und $\frac{338}{3}$ .

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

Schritt 7.2.14

Mutltipliziere $20$ mit $338$ .

$p \frac{6760}{3}$

Schritt 7.2.15

Kombiniere $p$ und $\frac{6760}{3}$ .

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

Schritt 7.2.16

Bringe $6760$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{6760}{3} p$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{6760}{3}$ und $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Schritt 10