Analysis Beispiele

$\int_{- 64}^{27} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 64}^{27} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 64}^{27} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x d x$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int_{- 64}^{27} x^{\frac{- 1}{3}} d x d x$

Schritt 1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{- 64}^{27} x^{- \frac{1}{3}} d x d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}]_{- 64}^{27} d x$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}]_{- 64}^{27} d x$

Schritt 3.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ bei $27$ und $- 64$ .

$((\frac{3 \cdot 27^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 {(- 64)}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$(\frac{3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 {(- 64)}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 {(- 64)}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 {(- 64)}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{3 \cdot 3^{2}}{2} - \frac{3 {(- 64)}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{3 {(- 64)}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$(\frac{27}{2} - \frac{3 {(- 64)}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.6

Schreibe $- 64$ als ${(- 4)}^{3}$ um.

$(\frac{27}{2} - \frac{3 {({(- 4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{27}{2} - \frac{3 {(- 4)}^{3 (\frac{2}{3})}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{27}{2} - \frac{3 {(- 4)}^{3 (\frac{2}{3})}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{27}{2} - \frac{3 {(- 4)}^{2}}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.9

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$(\frac{27}{2} - \frac{3 \cdot 16}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$(\frac{27}{2} - \frac{48}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $2$ .

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Schritt 3.2.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$(\frac{27}{2} - \frac{2 \cdot 24}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(\frac{27}{2} - \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}) d x$

Schritt 3.2.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{27}{2} - \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}) d x$

Schritt 3.2.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{27}{2} - \frac{24}{1}) d x$

Schritt 3.2.2.11.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$(\frac{27}{2} - 1 \cdot 24) d x$

Schritt 3.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$(\frac{27}{2} - 24) d x$

Schritt 3.2.2.13

Um $- 24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{27}{2} - 24 \cdot \frac{2}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.14

Kombiniere $- 24$ und $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{27}{2} + \frac{- 24 \cdot 2}{2}) d x$

Schritt 3.2.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27 - 24 \cdot 2}{2} d x$

Schritt 3.2.2.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.16.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $2$ .

$\frac{27 - 48}{2} d x$

Schritt 3.2.2.16.2

Subtrahiere $48$ von $27$ .

$\frac{- 21}{2} d x$

Schritt 3.2.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{21}{2} d x$

Schritt 3.2.2.18

Kombiniere $d$ und $\frac{21}{2}$ .

$- \frac{d \cdot 21}{2} x$

Schritt 3.2.2.19

Kombiniere $x$ und $\frac{d \cdot 21}{2}$ .

$- \frac{x (d \cdot 21)}{2}$

Schritt 3.2.2.20

Bringe $21$ auf die linke Seite von $d$ .

$- \frac{x (21 \cdot d)}{2}$

Schritt 3.2.2.21

Bringe $21$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{21 x d}{2}$

Schritt 3.3

Entferne die Klammern.

$- \frac{21}{2} x d$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{21}{2}$ .

$- \frac{x \cdot 21}{2} d$

Schritt 4.2

Bringe $21$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{21 \cdot x}{2} d$

Schritt 4.3

Kombiniere $d$ und $\frac{21 x}{2}$ .

$- \frac{d (21 x)}{2}$

Schritt 4.4

Bringe $21$ auf die linke Seite von $d$ .

$- \frac{21 d x}{2}$

Schritt 5