Analysis Beispiele

$\int_{- 6}^{- 3} u - \frac{9}{u^{2}} d u$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 6}^{- 3} u d u + \int_{- 6}^{- 3} - \frac{9}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 6}^{- 3} - \frac{9}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - \int_{- 6}^{- 3} \frac{9}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Da $9$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - (9 \int_{- 6}^{- 3} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} u^{- 2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 3})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $- 3$ und $- 6$ .

$(\frac{1}{2} {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 3})$

Schritt 7.2

Berechne $- u^{- 1}$ bei $- 3$ und $- 6$ .

$\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.3

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 36 - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{2} - 36 (\frac{1}{2}) - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.5

Kombiniere $- 36$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 36}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 7.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} + \frac{- 18}{1} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.6.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$\frac{9}{2} - 18 - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.7

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.8

Kombiniere $- 18$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 - 18 \cdot 2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.10.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$\frac{9 - 36}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.10.2

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$\frac{- 27}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{27}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (- \frac{1}{- 3} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{27}{2} - 9 (- - \frac{1}{3} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (1 (\frac{1}{3}) + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 7.3.16

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} + \frac{1}{- 6})$

Schritt 7.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})$

Schritt 7.3.18

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Schritt 7.3.19

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.19.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Schritt 7.3.19.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{2}{6} - \frac{1}{6})$

Schritt 7.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{27}{2} - 9 \frac{2 - 1}{6}$

Schritt 7.3.21

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{6})$

Schritt 7.3.22

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{- 9}{6}$

Schritt 7.3.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $6$ .

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Schritt 7.3.23.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$- \frac{27}{2} + \frac{3 (- 3)}{6}$

Schritt 7.3.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.23.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{27}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.3.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{27}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.3.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{27}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.3.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{27}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 7.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 27 - 3}{2}$

Schritt 7.3.26

Subtrahiere $3$ von $- 27$ .

$\frac{- 30}{2}$

Schritt 7.3.27

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $2$ .

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Schritt 7.3.27.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 15}{2}$

Schritt 7.3.27.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.27.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (1)}$

Schritt 7.3.27.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.27.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 15}{1}$

Schritt 7.3.27.2.4

Dividiere $- 15$ durch $1$ .

$- 15$

Schritt 8