Analysis Beispiele

$\int 6 x^{5} e^{x} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int x^{5} e^{x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{5}$ und $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - \int e^{x} (5 x^{4}) d x)$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$6 (x^{5} e^{x} - (5 \int e^{x} (x^{4}) d x))$

Schritt 4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 \int e^{x} (x^{4}) d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{4}$ und $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - \int e^{x} (4 x^{3}) d x))$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - (4 \int e^{x} (x^{3}) d x)))$

Schritt 7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 \int e^{x} (x^{3}) d x))$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x)))$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x))))$

Schritt 10

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x)))$

Schritt 11

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x))))$

Schritt 12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)))))$

Schritt 13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x))))$

Schritt 14

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)))))$

Schritt 15

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))))))$

Schritt 16

Schreibe $6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))))))$ als $6 (x^{5} e^{x} - 5 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x} - 60 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} - 120 e^{x}) + C$ um.

$6 (x^{5} e^{x} - 5 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x} - 60 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} - 120 e^{x}) + C$