Analysis Beispiele

$\int 6 x^{5} e^{3 x^{6}} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int x^{5} e^{3 x^{6}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ als ${u_{1}}^{3}$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ und $e^{3 {u_{1}}^{3}}$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{6}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int {u_{1}}^{2} e^{3 {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 3 {u_{1}}^{3}$ . Dann ist $d u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{9} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 3 {u_{1}}^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $3 {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 {u_{1}}^{3}]$

Schritt 6.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $3 {u_{1}}^{3}$ nach $u_{1}$ gleich $3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 {u_{1}}^{2})$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 {u_{1}}^{2}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{9} d u_{2}$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{9}$ .

$3 \int \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $3$ .

$\frac{3}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 {u_{1}}^{3}} + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 {(x^{2})}^{3}} + C$