Analysis Beispiele

$\int 625 x^{3} e^{5 x} d x$

Schritt 1

Da $625$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $625$ aus dem Integral.

$625 \int x^{3} e^{5 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{5 x}$ .

$625 (x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$625 (x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x}}{5} x^{2} d x)$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{3 e^{5 x}}{5}$ und $x^{2}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x} x^{2}}{5} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{3}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{5}$ aus dem Integral.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{3}{5} \int e^{5 x} x^{2} d x))$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Schritt 6.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x))$

Schritt 6.4

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x))$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ und $x$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x))$

Schritt 7

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x)))$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Schritt 9.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)))$

Schritt 10

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))))$

Schritt 11

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 11.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)))$

Schritt 12

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)))$

Schritt 13

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))))$

Schritt 14

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)))$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)))$

Schritt 15

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$

Schritt 16

Schreibe $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$ als $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$ um.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$

Schritt 17

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$625 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2

Vereinfache.

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Schritt 18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 18.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $625$ heraus.

$5 (125) \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 125 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 18.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}$ in den Zähler.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.2.2

Faktorisiere $25$ aus $625$ heraus.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (25) \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 \cdot 25 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (- 3 x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $25$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 18.2.4.1

Faktorisiere $125$ aus $625$ heraus.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 (5) \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 \cdot 5 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 5 (6 x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Schritt 18.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $625$ .

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Schritt 18.2.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6 e^{5 x}}{625}$ in den Zähler.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

Schritt 18.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

Schritt 18.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) - 6 e^{5 x} + C$

Schritt 18.3

Entferne die Klammern.

$125 x^{3} e^{5 x} - 75 x^{2} e^{5 x} + 30 x e^{5 x} - 6 e^{5 x} + C$