Analysis Beispiele

$\int_{- 8}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 8}^{1} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{1} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int_{- 8}^{1} x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{- 8}^{1} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{1}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ bei $1$ und $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Schritt 3.2.6

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} - 4 (\frac{3}{2})$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 12}{2}$

Schritt 3.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 3.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Schritt 3.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Schritt 3.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 3.2.10.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$\frac{3}{2} - 6$

Schritt 3.2.11

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.14.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{3 - 12}{2}$

Schritt 3.2.14.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$\frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{9}{2}$

Dezimalform:

$- 4.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 4 \frac{1}{2}$

Schritt 5