Analysis Beispiele

$\int 81 x^{3} e^{3 x} d x$

Schritt 1

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $81$ aus dem Integral.

$81 \int x^{3} e^{3 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x}}{3} x^{2} d x)$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{3 e^{3 x}}{3}$ und $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Schritt 3.6.2

Dividiere $e^{3 x} x^{2}$ durch $1$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int e^{3 x} x^{2} d x)$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Schritt 5.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x))$

Schritt 5.4

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x))$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ und $x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x))$

Schritt 6

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)))$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Schritt 8.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)))$

Schritt 9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))))$

Schritt 10

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 10.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)))$

Schritt 11

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)))$

Schritt 12

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)))$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Schritt 14

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$

Schritt 15

Schreibe $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$ als $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$ um.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$81 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2

Vereinfache.

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Schritt 17.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 17.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$3 (27) \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 27 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 17.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ in den Zähler.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 (27) \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 \cdot 27 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 27 (- x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 17.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (9) \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 \cdot 9 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (2 x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Schritt 17.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 17.2.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 e^{3 x}}{27}$ in den Zähler.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Schritt 17.2.6.2

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 (3) \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Schritt 17.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 \cdot 3 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Schritt 17.2.6.4

Forme den Ausdruck um.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 3 (- 2 e^{3 x}) + C$

Schritt 17.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) - 6 e^{3 x} + C$

Schritt 17.3

Entferne die Klammern.

$27 x^{3} e^{3 x} - 27 x^{2} e^{3 x} + 18 x e^{3 x} - 6 e^{3 x} + C$