Analysis Beispiele

$\int_{8}^{9} x + \frac{2}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{8}^{9} x d x + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 \int_{8}^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $9$ und $8$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Schritt 5.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $9$ und $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 64 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.4

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{81}{2} - 64 (\frac{1}{2}) + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.5

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64$ und $2$ .

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Schritt 5.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 64$ heraus.

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81}{2} + \frac{- 32}{1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.6.2.4

Dividiere $- 32$ durch $1$ .

$\frac{81}{2} - 32 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.7

Um $- 32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} - 32 \cdot \frac{2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.8

Kombiniere $- 32$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{81 - 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.10.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $2$ .

$\frac{81 - 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.10.2

Subtrahiere $64$ von $81$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Schritt 5.1.3.11

Um $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.1.3.12

Kombiniere $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + \frac{2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.1.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{17 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.1.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{17 + 4 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))}{2}$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{| 9 |}{| 8 |})}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{| 8 |})}{2}$

Schritt 5.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Dezimalform:

$8.73556607 \dots$

Schritt 7