Analysis Beispiele

$\int_{- 8}^{8} 8 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{- 8}^{8} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{lower} = {(- 8)}^{2}$

Schritt 2.3

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u_{lower} = 64$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 8^{2}$

Schritt 2.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$u_{upper} = 64$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 64$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{1}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{u_{1}}{2}$ und $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{lower} = - 64^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 4096$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4096$ .

$u_{lower} = - 4096$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{upper} = - 64^{2}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 4096$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4096$ .

$u_{upper} = - 4096$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 4096$

$u_{upper} = - 4096$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 4 (\frac{1}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- 2 (e^{u_{2}}]_{- 4096}^{- 4096})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $e^{u_{2}}$ bei $- 4096$ und $- 4096$ .

$- 2 ((e^{- 4096}) - e^{- 4096})$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $e^{- 4096}$ von $e^{- 4096}$ .

$- 2 \cdot 0$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$0$

Schritt 14